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> with(Statistics):
> assume(u>0,nu>0):
> student_:=RandomVariable(StudentT(nu)):
> pdf:=subs(u=x-mu,PDF(student_,u));
> mu_:=mu+Mean(student_);
> var_:=Variance(student_);
> logLike:=map(factor,[diff(Sum(subs(x=x[i],log(pdf)),i=1..N),nu),diff(S
> um(subs(x=x[i],log(pdf)),i=1..N),mu)]);
nu~
GAMMA(1/2 + ---)
2
pdf := -------------------------------------------------
/ nu~\
|1/2 + ---|
\ 2 /
/ 2\
1/2 nu~ | (x - mu) |
(Pi nu~) GAMMA(---) |1 + ---------|
2 \ nu~ /
/{ undefined nu~ <= 1 \
mu_ := mu + |{ |
\{ 0 otherwise/
{ undefined nu~ <= 2
{
var_ := { nu~
{ -------- otherwise
{ -2 + nu~
N
----- / /
\ | | nu~ nu~ 2
logLike := [ ) |1/2 |Psi(1/2 + ---) nu~ + Psi(1/2 + ---) x[i]
/ \ \ 2 2
-----
i = 1
nu~ nu~ 2
- 2 Psi(1/2 + ---) x[i] mu + Psi(1/2 + ---) mu - 1
2 2
nu~ nu~ 2 nu~
- Psi(---) nu~ - Psi(---) x[i] + 2 Psi(---) x[i] mu
2 2 2
2 2
nu~ 2 nu~ + x[i] - 2 x[i] mu + mu
- Psi(---) mu - ln(-----------------------------) nu~
2 nu~
2 2
nu~ + x[i] - 2 x[i] mu + mu 2
- ln(-----------------------------) x[i]
nu~
2 2
nu~ + x[i] - 2 x[i] mu + mu
+ 2 ln(-----------------------------) x[i] mu
nu~
2 2
nu~ + x[i] - 2 x[i] mu + mu 2 2
- ln(-----------------------------) mu + x[i] - 2 x[i] mu
nu~
\ \
2| / 2 2 |
+ mu | / (nu~ + x[i] - 2 x[i] mu + mu )|,
/ / /
N
-----
\ / (1 + nu~) (-x[i] + mu) \
) |- -----------------------------|]
/ | 2 2|
----- \ nu~ + x[i] - 2 x[i] mu + mu /
i = 1
> solve({logLike[1],logLike[2]},{mu,nu});
Warning, solutions may have been lost
> collect(logLike[1],nu);
2
/ nu~ nu~ \ x
|-1/2 Psi(---) - 1/2 %1 + 1/2 Psi(1/2 + ---)| nu~ + ----
\ 2 2 / 2
nu~ 2 nu~
+ 1/2 Psi(1/2 + ---) x - Psi(1/2 + ---) x mu
2 2
nu~ 2 nu~ 2
+ 1/2 Psi(1/2 + ---) mu - 1/2 - 1/2 Psi(---) x
2 2
nu~ nu~ 2 2
+ Psi(---) x mu - 1/2 Psi(---) mu - 1/2 %1 x + %1 x mu
2 2
2
2 mu
- 1/2 %1 mu - x mu + ---
2
2 2
nu~ + x - 2 x mu + mu
%1 := ln(-----------------------)
nu~
> subs(mu=Sum(y[i],i=1..N)/N,logLike);
nu~ nu~ 2
[1/2 Psi(1/2 + ---) nu~ + 1/2 Psi(1/2 + ---) x
2 2
/ N \
|----- |
nu~ | \ |
Psi(1/2 + ---) x | ) y[i]|
2 | / |
|----- |
\i = 1 /
- -----------------------------
N
/ N \2
|----- |
nu~ | \ |
Psi(1/2 + ---) | ) y[i]|
2 | / |
|----- |
\i = 1 / nu~
+ 1/2 ---------------------------- - 1/2 - 1/2 Psi(---) nu~
2 2
N
/ N \
|----- |
nu~ | \ |
Psi(---) x | ) y[i]|
2 | / |
|----- |
nu~ 2 \i = 1 /
- 1/2 Psi(---) x + -----------------------
2 N
/ N \2
|----- |
nu~ | \ |
Psi(---) | ) y[i]|
2 | / |
|----- |
\i = 1 / 2
- 1/2 ---------------------- - 1/2 %1 nu~ - 1/2 %1 x
2
N
/ N \ / N \2
|----- | |----- |
| \ | | \ |
%1 x | ) y[i]| %1 | ) y[i]|
| / | | / |
|----- | |----- | 2
\i = 1 / \i = 1 / x
+ ----------------- - 1/2 ---------------- + ----
N 2 2
N
/ N \ / N \2
|----- | |----- |
| \ | | \ |
x | ) y[i]| | ) y[i]|
| / | | / |
|----- | |----- |
\i = 1 / \i = 1 /
- -------------- + 1/2 -------------,
N 2
N
/ N \
| ----- |
| \ |
| ) y[i]|
| / |
| ----- |
| i = 1 |
|x - ----------| (1 + nu~)]
\ N /
/ N \ / N \2
|----- | |----- |
| \ | | \ |
2 x | ) y[i]| | ) y[i]|
| / | | / |
|----- | |----- |
2 \i = 1 / \i = 1 /
nu~ + x - ---------------- + -------------
N 2
N
%1 := ln(-------------------------------------------)
nu~
>
|